Motor kalkınca robotun beyni neden resetlenir?

Robot sabah ilk görevine çıkıyor. Teker motorları kalkış için akım çekiyor, ekrandaki ışık bir an titriyor ve kontrol kartı yeniden başlıyor. Batarya dolu, kablolar sağlam, yazılım hatasız. Yine de her sert kalkışta aynı şey oluyor.

Bu arızanın adı gerilim çökmesi ve kaynağı bataryanın kendisi. Her bataryanın içinde, hiçbir şemada çizilmeyen küçük bir direnç vardır. Boştayken görünmez, akım çekildiğinde ortaya çıkar. Onu anlamak, güç elektroniğinin en önemli tasarım fikrine giden kapıyı da açar.

Bataryanın içindeki direnç

Bataryayı kapalı bir kutu gibi düşün. İçinde ideal bir gerilim kaynağı ve ona seri bağlı küçük bir iç direnç var. Voltmetreyle boştaki bataryayı ölçtüğünde iç dirençten akım geçmez, üzerinde gerilim düşmez ve kaynağın tam değerini görürsün. Akım çekmeye başladığın an iç direnç kendi payını alır:

V_uç = V_boş − I × R_iç

İç direnci ölçmek için bataryayı kısa devre etmen gerekmez; bu hem tehlikeli hem de gereksiz olurdu. İki ölçüm yeter. 24 voltluk bir robot bataryası boşta 25,2 V, 10 A çekilirken 24,7 V gösteriyor. Kaybolan 0,5 volt iç dirençte düşmüştür: 0,5 / 10 = 50 mΩ.

Elli miliohm küçük bir sayı. Ama motor kalkışında akım 40 ampere çıkınca iç dirençte 40 × 0,05 = 2 V düşer ve uçlarda 23,2 V kalır. Aynı anda bataryanın içinde 40² × 0,05 = 80 W ısı açığa çıkar. Bu iki volt, aynı bataryadan beslenen her kartın gerilimini aynı anda düşürür. Kontrol kartının regülatörü bu düşüşü kaldıramazsa mikrodenetleyici resetlenir.

Arabalarda aynı olayı herkes yaşamıştır. Marş motoru yüzlerce amper çeker, 12 voltluk akünün gerilimi bir an 10 voltun altına iner ve radyo kapanıp açılır. Akü test cihazları bu çökmeyi ölçerek karar verir: standart yük testinde sağlam bir akü 21 °C’de 9,6 voltun üstünde kalmalıdır. Altına iniyorsa iç direnci büyümüş, akü yaşlanmıştır.

Kapalı kutunun iki sayısı

Fransız telgraf mühendisi Léon Charles Thévenin 1883’te bu fikri her devreye genelleştirdi. İki ucundan bakılan doğrusal bir devre, içinde ne kadar parça olursa olsun, bir kaynak ile bir seri dirence indirgenebilir. Batarya, regülatör çıkışı, bir gerilim bölücü: hepsi bu kalıba girer.

Kutuyu tanımlamak için iki sayı yeter. V_th, uçlar açıkken ölçülen gerilimdir. R_th ise uçlar kısa devre edildiğinde akan akımdan bulunur: R_th = V_açık / I_kısa. Açık devrede 10 V veren ve kısa devrede 2 A akıtan bir devre, yükün gözünden 5 Ω iç dirençli 10 voltluk bir kaynaktır. Gerçek devreyi kısa devre edemiyorsan, kaynakları sıfırlayıp uçlardan bakarsın: gerilim kaynağı bir tel, akım kaynağı açık bir uç olur.

Bu bakışın gücü şurada: model bir kez kurulunca yük hesabı tek satıra iner, V_yük = V_th × R_yük / (R_th + R_yük). Bir önceki yazıdaki gerilim bölücünün yük altında çökmesi (Gerilim bölücü ve yük etkisi) tam olarak budur. Bölücünün R_th’si iki direncin paraleliydi ve yük ona yaklaştıkça çıkış düşüyordu.

Gücün tepesi

Thevenin modeli ilginç bir soruyu da cevaplar: bir kaynaktan en çok gücü hangi yükle çekersin?

İki uç durumu düşün. Yük direnci sıfıra yakınsa akım büyüktür ama gerilimin hepsi kaynağın içinde düşer, yükün uçlarında neredeyse hiçbir şey kalmaz. Yük çok büyükse gerilim tam gelir ama akım sıfıra yaklaşır. Güç, gerilim ile akımın çarpımı olduğu için iki uçta da sıfıra gider. Arada bir tepe olmalı.

V_th = 12 V, R_th = 2 Ω: yük	0,5 Ω	1 Ω	2 Ω	4 Ω	8 Ω
Akım	4,8 A	4 A	3 A	2 A	1,2 A
Yükün gücü	11,5 W	16 W	18 W	16 W	11,5 W

Tepe, yük direnci iç dirence eşit olduğunda gelir. Bu noktada yük, kaynak geriliminin yarısını ve kısa devre akımının yarısını görür. Çarpınca en büyük güç çıkar:

P_max = V_th² / (4 × R_th)

Buna en büyük güç teoremi denir. Genellikle 1840’larda Rusya’da elektrik motorları üzerinde çalışan Alman asıllı fizikçi Moritz von Jacobi’ye atfedilir; bazı kitaplarda Jacobi yasası diye geçer.

Edison’un fark ettiği şey

Teoremin bir de karanlık yüzü var. Tepe noktasında aynı akım iç dirençten de geçer, yani kaynağın içinde yükle tam eşit güç ısıya döner. Verim yüzde 50’dir.

On dokuzuncu yüzyılda bu sonuç ciddi bir yanlış anlamaya yol açtı. James Joule dahil pek çok bilim insanı, bataryayla çalışan bir elektrik motorunun verimi yüzde 50’yi geçemez diye düşündü. Bu, elektriğin buhara karşı hiçbir zaman rekabet edemeyeceği anlamına geliyordu. 1880 civarında Thomas Edison’ın laboratuvarında en büyük gücün en yüksek verim olmadığı fark edildi; kaynaklar bu fikri Edison’a ya da ekibinden Francis Upton’a bağlar. Edison’un dinamoları bu yüzden olabildiğince düşük iç dirençle tasarlandı.

Verim, yükün iç dirence oranıyla belirlenir: η = R_yük / (R_th + R_yük). Aynı akım ikisinden de geçtiği için güç dirençlerle orantılı paylaşılır. İç direnci 2 Ω olan 10 voltluk bir kaynağa 2 Ω yük bağlarsan yüke 12,5 W gider, verim yüzde 50’dir. Yükü 20 Ω yaparsan güç 4,13 W’a düşer ama verim yüzde 90,9’a çıkar. Yük iç direncin yüz katı olunca verim yüzde 99’dur.

Güç elektroniğinin tasarım anlayışı bu denkleme dayanır: iç direnç, yüke göre olabildiğince küçük olmalı. Düşük iç dirençli batarya, kalın ve kısa kablo, düşük dirençli MOSFET bu yüzden seçilir.

Kuralın tersinin geçerli olduğu bir dünya da var: sinyal ve radyo frekansı. Orada taşınan şey enerji değil bilgidir ve bir anten zayıf sinyalin her mikrowattını almak ister. Bu yüzden RF devrelerinde yük kaynağa eşlenir, neredeyse her şey 50 Ω’dur. O 50 de bir uzlaşmadır: hava yalıtımlı bir koaksiyel kabloda en az kayıp 77 Ω civarında, en çok güç taşıma 30 Ω civarında elde edilir ve mühendisler aradaki yuvarlak sayıda buluşmuştur.

Gerilim bütçesi

Başa, resetlenen robota dönelim. Bataryanın iç direnci tek suçlu değil, çünkü batarya ile sürücü arasındaki her parça da seri bir dirençtir: kablo, konnektörler, sigorta, kontaktör. Hepsi toplanır. Toplam 25 mΩ’luk bir yol 40 A’de 1 V düşürür ve 40 W ısıtır.

48 V batarya, iç direnç 50 mΩ: akım	10 A	60 A	200 A
Uç gerilimi	47,5 V	45 V	38 V
Batarya içinde ısı	5 W	180 W	2000 W

Akım beş kat artınca ısı yirmi beş kat artıyor. İç direnç her zaman akımın karesiyle cezalandırır.

İyi bir güç mühendisi bu hesabı kart çizilmeden yapar. Batarya hücrelerinin veri sayfasında DC iç direnç (DCIR) yazar. Tepe akımla çarpınca uçtaki çökmeyi önceden görürsün. Yalnız bir uyarı: iç direnç soğukta belirgin biçimde artar. Soğuk hava deposunda çalışan bir robotun hesabı oda sıcaklığına göre değil, en soğuk koşula göre yapılır.

Batarya etiketinde yazan gerilim, robotun gerçekte gördüğü gerilim değildir. Aradaki fark iç dirençtir ve onu hesaplayan mühendis, sahadaki o titreyen ışığı masa başında görür.

---

Kendini sına

Önce kâğıt kalemle çöz, sonra çözümü aç. Bütün cevaplar Python ile hesaplandı.

1. Robot bataryası boşta 24 V, iç direnci 80 mΩ. Motor 25 A çekiyor. Uçlardaki gerilim ve bataryanın içinde ısıya giden güç?

İpucu

Önce mΩ’u Ω’a çevir: 80 mΩ = 0,08 Ω.

Çözüm

• İç düşüm: 25 × 0,08 = 2 V
• V_uç = 24 − 2 = 22 V
• Kayıp: 25² × 0,08 = 625 × 0,08 = 50 W

Cevap: Uç gerilimi = 22 V · İç kayıp = 50 W

2. Sensör kartını besleyen batarya boşta 12,6 V, 5 A yükte 12,35 V ölçülüyor. İç direnç kaç mΩ? Aynı bataryadan 30 A tepe akım çekilirse uç gerilimi?

İpucu

R_iç = (V_boş − V_yük) / I; sonra V_uç = V_boş − I_tepe × R_iç.

Çözüm

• R_iç = (12,6 − 12,35) / 5 = 0,25 / 5 = 0,05 Ω = 50 mΩ
• Tepe düşüm: 30 × 0,05 = 1,5 V
• V_uç = 12,6 − 1,5 = 11,1 V

Cevap: R_iç = 50 mΩ · Tepe akımda uç gerilimi = 11,1 V

3. Pil gerilimini ölçen bölücü: 9 V giriş, üst 10 kΩ, alt 4,7 kΩ. Çıkışın Thevenin eşdeğeri (V_th, R_th)? Çıkışa 10 kΩ giriş dirençli bir ADC girişi bağlanınca ölçülen gerilim?

İpucu

V_th = yüksüz bölücü çıkışı; R_th = R_üst ∥ R_alt.

Çözüm

• V_th = 9 × 4,7 / (10 + 4,7) = 2,88 V
• R_th = 10 × 4,7 / (10 + 4,7) = 3,2 kΩ
• Kontrol: I_kısa = 9 V / 10 kΩ = 0,9 mA → V_th / I_kısa = 2,88 / 0,9 = 3,2 kΩ ✓
• Yüklü: 2,88 × 10 / (3,2 + 10) = 2,18 V

Cevap: V_th = 2,88 V · R_th = 3,2 kΩ · Yüklü çıkış = 2,18 V

4. V_th = 12 V, R_th = 4 Ω bir kaynak. En büyük güç hangi yükte, kaç W? Aynı kaynağa 36 Ω yük bağlanırsa yük gücü ve verim?

İpucu

P_max = V_th² / (4 R_th); diğer yükte önce I = V_th / (R_th + R_yük).

Çözüm

• R_yük = R_th = 4 Ω
• P_max = 12² / (4 × 4) = 144 / 16 = 9 W, verim %50
• 36 Ω’da: I = 12 / (4 + 36) = 0,3 A
• P = 0,3² × 36 = 3,24 W
• Verim = 36 / (4 + 36) = %90

Cevap: Yük (en büyük güç) = 4 Ω · P_max = 9 W · 36 Ω’da güç = 3,24 W · 36 Ω’da verim = %90

5. Motor sürücüsünü besleyen batarya boşta 25,2 V, iç direnci 60 mΩ. Kablonun gidiş ve dönüş toplam direnci 20 mΩ. Sürücü girişi 22 V’un altına inmemeli. Batarya ve kabloyu tek Thevenin direnci say: R_th kaç mΩ, izin verilen en büyük tepe akım kaç A, bu akımda batarya ve kabloda ısıya giden güç kaç W, verim yüzde kaç?

İpucu

Seri dirençler toplanır; izin verilen düşüm = V_boş − V_min.

Çözüm

• R_th = 60 + 20 = 80 mΩ = 0,08 Ω
• İzin verilen düşüm: 25,2 − 22 = 3,2 V
• I_max = 3,2 / 0,08 = 40 A
• Kayıp: 40² × 0,08 = 1600 × 0,08 = 128 W
• Verim: sürücüye giden / bataryadan çıkan = 22 / 25,2 = %87,3

Cevap: R_th = 80 mΩ · Tepe akım = 40 A · Kayıp = 128 W · Verim = %87,3